Vecto Pauli được định nghĩa như sau:

σ → = σ 1 x ^ + σ 2 y ^ + σ 3 z ^ {\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,}

Và cung cấp một cơ chế ánh xạ từ một cơ sở vector đến một cơ sở ma trận Pauli [2]

a → ⋅ σ → = ( a i x ^ i ) ⋅ ( σ j x ^ j ) = a i σ j x ^ i ⋅ x ^ j = a i σ j δ i j = a i σ i = ( a 3 a 1 − i a 2 a 1 + i a 2 − a 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{i}{\hat {x}}_{i})\cdot (\sigma _{j}{\hat {x}}_{j})\\&=a_{i}\sigma _{j}{\hat {x}}_{i}\cdot {\hat {x}}_{j}\\&=a_{i}\sigma _{j}\delta _{ij}\\&=a_{i}\sigma _{i}={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}

Từ đó ta có:

det a → ⋅ σ → = − a → ⋅ a → = − | a → | 2 , {\displaystyle \det {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-|{\vec {a}}|^{2},} 1 2 t r [ ( a → ⋅ σ → ) σ → ] = a → . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {tr} [({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}){\vec {\sigma }}]={\vec {a}}.}

Tính được vectơ riêng là: ψ + = ( a 3 + | a → | a 1 + i a 2 ) ; ψ − = ( i a 2 − a 1 a 3 + | a → | ) . {\displaystyle \psi _{+}={\begin{pmatrix}a_{3}+|{\vec {a}}|\\a_{1}+ia_{2}\end{pmatrix}};\qquad \psi _{-}={\begin{pmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{pmatrix}}.}